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台風がこんな季節にやってくるなんて、ということで気体の法則について基本的なことを基本的に考えなおしてみた。

常温常圧での一定質量の気体に対し、圧力を$P$、体積を$V$とすると以下のことが気体の種類によらず成り立っていることが、実験的に知られている。

ボイルの法則　　
温度一定の時　：　$PV = \mbox{Const.}$

シャルルの法則　
圧力一定の時　：　気体の体積の膨張係数$\alpha$は、$\frac{1}{273}$

この時$0^\circ$C での体積を$V_0$、$\theta^\circ$Cでの体積を$V$とすると
$$
V = V_0 (1 + \alpha \theta) = V_0 \left( 1 + \frac{1}{273} \theta \right)
$$
と書ける。したがって、シャルルの法則に従えば、$\theta = -273^\circ$Cで体積は $V = 0$となる（実際は、実在する気体ではその前に液化してしまう）。そこで原点を$-273$にずらした温度$T$(絶対温度 単位はK)を定義する
$$
T = \theta + 273
$$
すると
\begin{align*}
V &= \alpha V_0 T\\
\frac{V}{T} &= \mbox{Const.}
\end{align*}

これらの法則は、高圧になったり低温になるなど、分子間力が無視できなくなる状態では成り立たない。そこで、分子間力を無視できる仮想的な気体を考えれば上記のことは完全に成り立つ。このような気体を「理想気体」という。

理想気体の状態方程式
圧力 $P$、体積$V$、温度$T$ の $n$ mol の理想気体を考える。
この気体を温度を一定に保ちながら、圧力$P_0 = 1$atm($1.013 \times 10^5$ N/m${}^2$)、体積$V_1$ にする。
ボイルの法則より
$$
PV = P_0 V_1
$$
次に、圧力$P_0$を一定に保ちながら、温度を$T_0 = 273$K、体積$V_0$ にする。
シャルルの法則より
$$
\frac{V_1}{T} = \frac{V_0}{T_0}
$$
これら２式から
\begin{align*}
PV &= P_0 \times \frac{T}{T_0} \times V_0 \\
\frac{PV}{T} &= \frac{P_0 \times V_0}{T_0}
\end{align*}
標準状態（$273$K、$1$atm）では、$1$ mol の理想気体の体積は $22.4 l$ であるから
$$
V_0 = n \times 22.4 \times 10^{-3} \mbox{m}^3
$$
すると
$$
\frac{PV}{T} = \frac{1.013 \times 10^5 \times n \times 22.4 \times 10^{-3}}{273} = 8.31 \times n
$$
ここで、$R = 8.31$ J/K$\cdot$mol を気体定数という。
したがって
$$
PV = n RT
$$
これを理想気体の状態方程式という。