抵抗を流れる電流を$I_R$、コンデンサーを流れる電流を$I_C$、コンデンサーを流れる電流を$I_L$とすると、回路全体を流れる電流$I$は、キルヒホッフの法則より、
$$
I = I_R + I_C + I_L
$$
並列接続なので各素子にかかる電圧は等しい。電圧を基準にしてこの和をベクトルで示すと右側の図のようになる。（コンデンサーに流れる電流の位相が電圧に対して $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 進み、コイルに流れる電流の位相が $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 遅れることを用いる。）
ここで各電流の最大値は前回のブログの結果を見れば、
\begin{align*}
I_{R0} &= \frac{V_0}{R}\\
I_{C0} &= C \omega V_0\\
I_{L0} &= \frac{V_0}{L \omega}
\end{align*}
である。するとコンデンサーを流れる電流とコイルに流れる電流のベクトルを足した合成ベクトル（オレンジの矢印）の大きさは
$$
I_{C0} - I_{L0} = C \omega V_0 - \frac{V_0}{L \omega}
$$
このオレンジのベクトルと抵抗を流れる電流のベクトル（赤い矢印）を足したものが、回路を全体を流れる電流をあらわすベクトルである。
このベクトルの大きさ $I_0$ は、三平方の定理を使えば
\begin{align*}
I_0 &= \sqrt{(I_{R0})^2 + (I_{CO} - I_{L0})^2}\\
&= \sqrt{ \left( \frac{V_0}{R} \right)^2 + \left( C \omega V_0 - \frac{V_0}{L \omega} \right)^2}\\
&= V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}
\end{align*}
よって、インピーダンスは
$$
Z = \frac{1}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}}
$$
したがって、回路全体を流れる電流は
$$
I = V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2} \sin ( \omega t + \varphi )
$$
ただし、この電流の電圧に対する位相のずれ $\varphi$ は以下を満たす角。
$$
\tan \varphi = \frac{C \omega - \frac{1}{L \omega}}{\frac{1}{R}}
$$
同じことを数学的に解く
各素子にかかる電圧は
\begin{align*}
V_0 \sin \omega t &= I_R R\\
V_0 \sin \omega t &= \frac{Q}{C}\\
V_0 \sin \omega t &= L \frac{d I_L}{dt}
\end{align*}
第１式より抵抗を流れる電流は
$$
I_R = \frac{V_0}{R} \sin \omega t
$$
コンデンサーに流れる電流 $I_C$ は、コンデンサーに蓄えられる電荷 $Q$ と
$$
I_C = \frac{dQ}{dt}
$$
の関係にあるから、第２式を用いて
\begin{align*}
I_C &= \frac{d}{dt}(C V_0 \sin \omega t )\\
&= C \omega V_0 \cos \omega t
\end{align*}
第３式より
\begin{align*}
\frac{dI_L}{dt} &= \frac{V_0}{L} \sin \omega t\\
I_L &= \frac{V_0}{L} \int \sin \omega t \, dt\\
&= - \frac{V_0}{L \omega} \cos \omega t
\end{align*}
積分定数は、時間によらず回路に一定の電流が流れ続けることを意味するが、そんなものはないので0とする。
したがって、回路全体を流れる電流は
\begin{align*}
I &= I_R + I_C + I_L\\
&= \frac{V_0}{R} \sin \omega t + C \omega V_0 \cos \omega t - \frac{V_0}{L \omega} \cos \omega t\\
&= V_0 \left\{ \frac{1}{R} \sin \omega t + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right) \cos \omega t \right\}\\
&= V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2} \left\{ \frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}} \sin \omega t \right. \\
&+ \left. \frac{C \omega - \frac{1}{L \omega}}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}} \cos \omega t \right\}
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\cos \varphi &= \frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}}\\
\sin \varphi &= \frac{\omega C - \frac{1}{L \omega}}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}}
\end{align*}
とおけば
\begin{align*}
I &= V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2} \left( \sin \omega t \cos \varphi + \cos \omega t \sin \varphi \right)\\
&= V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2} \sin ( \omega t + \varphi )
\end{align*}
ただし、$\varphi$ は以下を満たす角。
$$
\tan \varphi = \frac{C \omega - \frac{1}{L \omega}}{\frac{1}{R}}
$$
回路全体を流れる電流の最大値は
$$
I_0 = V_0 \sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}
$$
よってインピーダンスは
$$
Z = \frac{1}{\sqrt{ \left( \frac{1}{R} \right)^2 + \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)^2}}
$$
となり、図を使った場合と同じ結果となる。
