http://blog.misubo.com/ 虎穴に入るも、虎子は得ず。 ja http://blog.misubo.com/article/179787310.html とってもシンプルで手軽な ToDo リストアプリ Just ToDo を公開しました。自動的に残タスクがリストの上に表示されるので、今日やるべきことがすぐにわかります。チェックをつけたタスクも日付ごとにまとまっているので振り返りにも便利です。ToDoリストを複雑に管理するのはやめて、タスクをこなすことに時間を使いましょう。詳しくは、こちら をご覧ください。 プログラミング とさかくん 2017-05-18T23:51:59+09:00
自動的に残タスクがリストの上に表示されるので、今日やるべきことがすぐにわかります。
チェックをつけたタスクも日付ごとにまとまっているので振り返りにも便利です。
ToDoリストを複雑に管理するのはやめて、タスクをこなすことに時間を使いましょう。

詳しくは、こちら をご覧ください。

]]> http://blog.misubo.com/article/179537025.html シンプルな音楽再生アプリ Simple DJ Box を公開しました。ボタンを長押しして選曲、聴きたい曲のボタンをタップするだけの簡単操作です。聴きながら他のボタンに曲を割り当てられるので、DJ的な楽しみ方もできます。詳しくは、こちらをご覧ください。 プログラミング とさかくん 2017-04-24T12:37:17+09:00 ボタンを長押しして選曲、聴きたい曲のボタンをタップするだけの簡単操作です。
聴きながら他のボタンに曲を割り当てられるので、DJ的な楽しみ方もできます。

詳しくは、こちらをご覧ください。



]]> http://blog.misubo.com/article/178507593.html 昨年末にリリースした、ツイキャス用コメントビューア Nest が、AppStore 無料エンターテイメントカテゴリで、9位になりました。ありがとうございます。現在、さらに使いやすいものにするため次期バージョンを開発中です。お楽しみにぃ〜！Nest については、こちら をご覧ください。 プログラミング とさかくん 2017-01-22T20:01:56+09:00 ありがとうございます。
現在、さらに使いやすいものにするため次期バージョンを開発中です。
お楽しみにぃ〜！



Nest については、こちら をご覧ください。

]]> http://blog.misubo.com/article/178297246.html あけましておめでとうございます昨年末にリリースした、ツイキャス用コメントビューア Nest が App Store の無料エンターテイメントカテゴリで、22位になりました。ありがとうございます。今後も、さらに使いやすいものにしていこうと思っております。よろしくお願いいたします。Nest については、こちらをご覧ください。 プログラミング とさかくん 2017-01-06T13:44:17+09:00 昨年末にリリースした、ツイキャス用コメントビューア Nest が App Store の無料エンターテイメントカテゴリで、22位になりました。ありがとうございます。



今後も、さらに使いやすいものにしていこうと思っております。
よろしくお願いいたします。

Nest については、こちらをご覧ください。

]]> http://blog.misubo.com/article/178212094.html ツイキャス用のコメントビューア Nest をリリースしました。すでに、iPhone 用のコメントビューアは公開していましたが、今回の Nest は、Mac 用のアプリケーションとなります。主な機能は、コメント、スクリーンショットの表示、初コメントにマーク付け、特定のユーザーのコメントにマーク付け、ユーザー情報の表示となっています。今後、より使いやすいものにしていこうと思っています。詳しくは、こちらを御覧ください。 プログラミング とさかくん 2016-12-29T23:43:32+09:00 すでに、iPhone 用のコメントビューアは公開していましたが、今回の Nest は、Mac 用のアプリケーションとなります。
主な機能は、コメント、スクリーンショットの表示、初コメントにマーク付け、特定のユーザーのコメントにマーク付け、ユーザー情報の表示となっています。
今後、より使いやすいものにしていこうと思っています。
詳しくは、こちらを御覧ください。

]]> http://blog.misubo.com/article/177933499.html シンプルな脳トレゲーム、カルクビンゴを公開しました。Swift3、SpriteKit、GameplayKit を使って作成しました。詳しくはこちらへ。 プログラミング とさかくん 2016-12-05T15:30:29+09:00 Swift3、SpriteKit、GameplayKit を使って作成しました。
詳しくはこちらへ。

]]> http://blog.misubo.com/article/176205913.html 昨日、アプリが落ちるのではないか？と書きましたが、App Store からダウンロードして確認したところ正常に動作しているようです。おそらく、僕の開発環境に何かしらの問題があったのでしょう。お騒がせしました。（っていうか、iAd サービス終了していたのですね、収入源が絶たれました、、、たいした収入じゃないけど・・・・） 日記 とさかくん 2016-07-24T11:40:19+09:00 おそらく、僕の開発環境に何かしらの問題があったのでしょう。お騒がせしました。

（っていうか、iAd サービス終了していたのですね、収入源が絶たれました、、、たいした収入じゃないけど・・・・）
]]> http://blog.misubo.com/article/176199748.html コメびゅう、CASキーバー、おすすめポイポイの３つのアプリが、起動できない状態になっているかもしれません。（少なくとも自分が持っている iPhone では落ちます。）ご利用中のみなさまには大変ご迷惑をおかけしております。おそらく、iOSのアップデートにともなって、不具合が発生してしまったと思われます。原因を調査し、修正を試みようと思っていますので、もうしばらくお待ち下さい。 日記 とさかくん 2016-07-24T00:04:59+09:00 ご利用中のみなさまには大変ご迷惑をおかけしております。
おそらく、iOSのアップデートにともなって、不具合が発生してしまったと思われます。
原因を調査し、修正を試みようと思っていますので、もうしばらくお待ち下さい。

]]> http://blog.misubo.com/article/111015348.html UIScrollView の中に、行数に依存して高さが変わる UILabel があり、行数が増えて画面から下方にはみ出したとき縦スクロールできるようにする方法を紹介します。いろいろ試行錯誤して見つけたやり方なので、なぜこれでできるのか理屈は今ひとつわかりません。より正しい方法をご存じの方がいらっしゃいましたら、コメント欄などで教えていただけると幸いです。やりたいこと下の図のような構成の画面で黄緑色の UILabel が storyboard で Lines を 0 に指定して.. プログラミング とさかくん 2015-01-10T00:11:36+09:00 いろいろ試行錯誤して見つけたやり方なので、なぜこれでできるのか理屈は今ひとつわかりません。より正しい方法をご存じの方がいらっしゃいましたら、コメント欄などで教えていただけると幸いです。

やりたいこと
下の図のような構成の画面で黄緑色の UILabel が storyboard で Lines を 0 に指定して高さが可変になっています。黄緑色の UILabel に表示されている内容が少なく、画面に納まっているときは、縦スクロールはしません。（もちろん横スクロールもしません）



下の図のように黄緑色の UILabel の内容が増えて、画面に納まらなくなると、縦スクロールするようにします。



画面の構成は次のようになっています。
ラベルや画像、ボタンには適当に制約（Top Space、Bottom Space、Leading Space、Trailing Spaceなど）を設定しておいてください。ソースコード上では、UIScrollView に対して何も設定していません。



ポイント
縦スクロールを実現するためのポイントは、以下の２つになります。
１．一番上の水色のラベルに左端からの距離と右端からの距離の制約（Leading Space と Trailing Space）、それに加えて、中央に表示する制約（Align Center X）をつけること。



２．一番下にあるオブジェクト（この場合は UIButton）に Bottom Space の制約をつけること。



ちなみに、水色のラベルの中央表示の制約（Align Center X）を外すと、Lines を 0 に設定してあっても黄緑色のラベルが横に広がってしまい、横スクロールしてしまいます。
ですから、中央表示の制約をつけることのできるオブジェクトが一番上にない場合は、ちょっと気持ちが悪いですが、何も表示しない透明なラベルをダミーとして置くことになります。

使用環境
Xcode 6.1.1
iOS 8.1
Swift


]]> http://blog.misubo.com/article/110100225.html ツイキャス（TwitCasting）のコメントビューア「コメびゅう」をリリースしました。詳しくは こちら をご覧ください。作ってみようと思い立ったのが11月2日で、最終的に App Store にリリースされたのが12月31日だったので、ほぼまる2ヶ月かかりました。iPhone のアプリを作るのは初めてで、ひとつひとつ調べながらの開発でしたが、なんとかリリースできて良かったです。開発言語は Swift を使ったのですが、非常にコーディングしやすかったです。これから少しずつより.. 日記 とさかくん 2015-01-04T17:50:42+09:00 詳しくは こちら をご覧ください。

作ってみようと思い立ったのが11月2日で、最終的に App Store にリリースされたのが12月31日だったので、ほぼまる2ヶ月かかりました。iPhone のアプリを作るのは初めてで、ひとつひとつ調べながらの開発でしたが、なんとかリリースできて良かったです。開発言語は Swift を使ったのですが、非常にコーディングしやすかったです。

これから少しずつより使いやすいものにしていきたいと思っています。

]]> http://blog.misubo.com/article/106057305.html Swift で作ったアプリを iPhone の実機で動かそうとすると起動画面を表示したあと、以下の様なログをはいて止まってしまっていましたが、回避方法をヤフー知恵袋 Swift で作ったアプリを iPhone の実機で動かそうとするとクラッシュする。で質問し、教えていただきましたのでまとめておきます。エラーログdyld: Library not loaded: @rpath/libswiftCore.dylibReferenced from: /private/var/mob.. 日記 とさかくん 2014-11-28T16:36:24+09:00 Swift で作ったアプリを iPhone の実機で動かそうとするとクラッシュする。
で質問し、教えていただきましたのでまとめておきます。

エラーログ
dyld: Library not loaded: @rpath/libswiftCore.dylib
Referenced from: /private/var/mobile/Containers/Bundle/Application/055A2BD3-0676-41B8-BC81-D092668E4CD0/TestSwift.app/TestSwift
Reason: no suitable image found. Did find:
/private/var/mobile/Containers/Bundle/Application/055A2BD3-0676-41B8-BC81-D092668E4CD0/TestSwift.app/Frameworks/libswiftCore.dylib: mmap() error 1 at address=0x100140000, size=0x0018C000 segment=__TEXT in Segment::map() mapping /private/var/mobile/Containers/Bundle/Application/055A2BD3-0676-41B8-BC81-D092668E4CD0/TestSwift.app/Frameworks/libswiftCore.dylib
(lldb)

開発、実行環境
MacBook Pro 13-inch, Mid 2010
OS X 10.9.5
Xcode Version 6.1
iPhone 6 Plus iOS 8.1.1

この場合、証明書を Xcode を使わずに Apple の Developer ページの Member Center から手作業で作った Provisioning Profile を使用すると回避することができました。

自分が行った手順と参考にしたページ

1. 念のため、Xcode で作った Provisioning Profile などを以下のように全部削除（いろいろ試していたので一旦きれいにしておきたかったので・・・・）
• iPhone にインストールしてあったテストアプリを削除
• Xcode [Window] -> [Device] を使って実機から provisioning profile を削除
• Member Center で provisioning profile を削除
• Member Center で iOS Certificates (Development) を revoke
• Member Center で iOS Certificates (Production) を revoke
• Member Center で App ID を削除
• キーチェーンアクセスから以前インストールしてた証明書類を削除
2. 以下のリンク先を参考にして、Provisioning profile を Apple の Developer ページの Member Center で作成。
   iOS プロビジョニングプロファイルの作成
3. Xcode [Window] -> [Device] を使って、ダウンロードしてあった Provisioning profile を iPhone に設定する。
4. Xcode のツールバーにある Scheme から、接続した iPhone を選択して Run ボタンを押して実行。

この手順を踏むことで無事実機でアプリを起動できるようになりました。
参考になれば幸いです。

]]> http://blog.misubo.com/article/104937904.html 天気も良かったので、紅葉でも撮ろうかな？と思い、カメラを持ってなんとなく外出しました。大通りを歩いているとどうやら今日は、まちなかハロウィンというイベントがあるらしく軽く仮想した人や顔にペイントした人々が通りに集まっておりました。仮装大会も行われるということだったので、思わず紅葉はキャンセルし、仮装大会を見ることにしました。３０人弱くらいの参加者でしたが、それぞれ個性ある衣装で頑張っていました。でも、東北人気質？というか、あまり派手なパフォーマンスをする人はいませんでしたね。.. 日記 とさかくん 2014-10-26T21:31:04+09:00 大通りを歩いているとどうやら今日は、まちなかハロウィンというイベントがあるらしく軽く仮想した人や顔にペイントした人々が通りに集まっておりました。

仮装大会も行われるということだったので、思わず紅葉はキャンセルし、仮装大会を見ることにしました。３０人弱くらいの参加者でしたが、それぞれ個性ある衣装で頑張っていました。
でも、東北人気質？というか、あまり派手なパフォーマンスをする人はいませんでしたね。関東だともっと踊ったり叫んだり？する人いそうですけど・・・・。

でも、こういうイベントでささやかながらも町が賑わうのは素敵なことだと思いました。



]]> http://blog.misubo.com/article/58908529.html 振動数を自由に変えられる音源の両脇に両端が開いた２つの管A、Bがある。長さはそれぞれ $4L$、$3L$ である。音速を $c$ として、音源の振動数を $0$ から少しずつ上げていった時、２つの管A、Bが初めて同時に共鳴する振動数を求めよう。（ただし、開口端補正を無視し、各管どうしの干渉は考えない。）両端が開いた管にできる定常波の場合、基本振動の波形は以下の図のようになり、半波長が管の長さになっている。そこで、管A、Bにできる定常波の基本振動数を $f_A$、$f_B$ 波.. も研 とさかくん 2012-10-06T22:44:25+09:00 長さはそれぞれ $4L$、$3L$ である。

音速を $c$ として、音源の振動数を $0$ から少しずつ上げていった時、２つの管A、Bが初めて同時に共鳴する振動数を求めよう。（ただし、開口端補正を無視し、各管どうしの干渉は考えない。）

両端が開いた管にできる定常波の場合、基本振動の波形は以下の図のようになり、半波長が管の長さになっている。

そこで、管A、Bにできる定常波の基本振動数を $f_A$、$f_B$ 波長を $\lambda_A$、$\lambda_B$ とすると、
管Aについて、
\begin{eqnarray*}
\frac{\lambda_A}{2} &=& 4L\\
\lambda_A &=& 8L
\end{eqnarray*}
したがって、基本振動数 $f_A$ は
\begin{eqnarray*}
f_A &=& \frac{c}{\lambda_A}\\
f_A &=& \frac{c}{8L}
\end{eqnarray*}
管Bについて、同様に計算すると
\begin{eqnarray*}
\frac{\lambda_B}{2} &=& 3L\\
\lambda_B &=& 6L\\
f_B &=& \frac{c}{\lambda_B}\\
f_B &=& \frac{c}{6L}
\end{eqnarray*}
分数のままだと見通しが悪いので比を考えると
$$
f_A : f_B = \frac{c}{8L} : \frac{c}{6L} = \frac{1}{8} : \frac{1}{6} = \frac{1}{4} : \frac{1}{3} = 3 : 4
$$
そこで、
$$
f_A = 3a,\,\,\, f_B = 4a
$$
とすると
$$
a = \frac{c}{24L}
$$
音源の振動数を上げていった時、各管中の気柱が共鳴する振動数を表にすると

　　　　基本振動　　2倍振動　　3倍振動　　4倍振動
----------------------------------------------------------------------------------
管A　　　　$3a$　　　　$6a$　　　　　$9a$　　　　$12a$
----------------------------------------------------------------------------------
管B　　　　$4a$　　　　$8a$　　　　 $12a$　　　　$16a$
----------------------------------------------------------------------------------

したがって、管A、Bが同時に共鳴するのは、音源の振動数が $12a$ の時、
つまりこの時の音源の振動数 $f$ は
$$
f = 12a = 12 \times \frac{c}{24L} = \frac{c}{2L}
$$
となる。

この例では管を２本としたため簡単だが、管の数が増え（例えば４本）、気柱が共鳴する順番を調べたりする場合には、今回のように比を考える方法は便利（分数のままやると頭が変になる）。

音源から離れている端が閉じている管についても同様に考えることができるが、その場合は基本振動数の奇数倍のみが許されることを忘れないこと。

]]> http://blog.misubo.com/article/58634042.html 熱力学第一法則は、気体の吸収する熱量を $Q$、内部エネルギーの変化を $\Delta U$、外にする仕事を $W$ とすると$$Q = \Delta U + W$$と表される。熱力学第二法則には、いくつかの言い回しがあるが、ここでは以下のトムソンの原理を採用する。トムソンの原理一つの熱源から熱を受け取り、そのすべてを熱に変えるだけで、他に何の変化も残さないような過程は不可能である。これらを基に以下のカルノーの定理をざっくり考えなおす。カルノーの定理一様な温度を持つ２つの熱源.. も研 とさかくん 2012-09-30T12:32:25+09:00 $$
Q = \Delta U + W
$$
と表される。

熱力学第二法則には、いくつかの言い回しがあるが、ここでは以下のトムソンの原理を採用する。

トムソンの原理
一つの熱源から熱を受け取り、そのすべてを熱に変えるだけで、他に何の変化も残さないような過程は不可能である。

これらを基に以下のカルノーの定理をざっくり考えなおす。

カルノーの定理
一様な温度を持つ２つの熱源の間で働く可逆機関の効率は、可逆機関（作業物質）の種類によらず、熱源の温度のみで決定され、同じ２つの熱源の間で働く不可逆機関（一般の熱機関）の熱効率は可逆機関の効率以下である。

まずは、下の図のような理想気体を用いたカルノーサイクルを考える。

このサイクルにおいて加熱されているは $D \rightarrow A$ のみ。
$D \rightarrow A$ は、等温過程だから内部エネルギーの変化はないので、熱力学第一法則は
$$
Q_{DA} = W_{DA}
$$
よって全加熱量 $Q_{+}$ は、
$$
Q_{+} = Q_{DA} = W_{DA} = \int_{V_D}^{V_A} p dV
$$
理想気体の状態方程式
$$
pV = nRT
$$
を使って
\begin{eqnarray*}
Q_{+} &=& nRT_{+} \int_{V_D}^{V_A} \frac{1}{V} dV\\
&=& nRT_{+} \left[ \log V\right]_{V_D}^{V_A}\\
&=& nRT_{+} \log \frac{V_A}{V_D}
\end{eqnarray*}
放熱されているのは、$B \rightarrow C$ の等温過程のみなので、全放熱量は同様に計算すれば、
\begin{eqnarray*}
Q_{-} &=& -Q_{BC} = -W_{BC}\\
&=& - \int_{V_B}^{V_C} p dV\\
&=& nRT_{-} \log \frac{V_B}{V_C}
\end{eqnarray*}
また、$A \rightarrow B$、$C \rightarrow D$ は、断熱過程であるからポアソンの公式が成り立つ
\begin{eqnarray*}
T_{+}V_A^{\gamma - 1} &=& T_{-}V_B^{\gamma - 1}\\
T_{+}V_D^{\gamma - 1} &=& T_{-}V_C^{\gamma - 1}
\end{eqnarray*}
よって辺々割れば
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{V_A}{V_D} \right)^{\gamma - 1} &=& \left( \frac{V_B}{V_C} \right)^{\gamma - 1}\\
\frac{V_A}{V_D} &=& \frac{V_B}{V_C}
\end{eqnarray*}
よって
$$
Q_{-} = nRT_{-} \log \frac{V_A}{V_D}
$$
カルノーサイクルの熱効率は
\begin{eqnarray*}
\eta &=& \frac{Q_+ - Q_-}{Q_+} = 1 - \frac{Q_-}{Q_+}\\
&=& 1 - \frac{nRT_{-} \log \frac{V_A}{V_D}}{nRT_{+} \log \frac{V_A}{V_D}}\\
&=& 1 - \frac{T_-}{T_+}
\end{eqnarray*}
したがって、カルノーサイクルの熱効率は、熱源の温度のみで決まる。

次に、高温熱源 $T_+$ と低音熱源 $T_-$ の間で働く一般の熱機関と、可逆機関の例としてカルノーサイクルを考える。
まずは、一般の熱機関が熱源 $T_+$ から熱量 $q'_+$ を吸収し、熱源 $T_-$ に熱量 $q'_-$ を放出し、外に $w' = q'_+ - q'_-$ の仕事をしたとする（下図参照）。

この時、この機関の熱効率 $\eta'$ は、
$$
\eta' = 1 - \frac{q'_-}{q'_+}
$$
となる。

同じ熱源 $T_+$、$T_-$ の間で働くカルノーサイクル（可逆機関）を考える。
カルノーサイクルをうまく調節して熱源 $T_+$ から吸収する熱量が上記の一般熱源が吸収する熱量 $q'_+$ と同じになるようにする。熱源 $T_-$ に放出する熱量を $q_-$ とすると、外にする仕事は $w = q'_+ - q_-$ となる（下図参照）。

この時、この機関の熱効率 $\eta$ は、
$$
\eta = 1 - \frac{q_-}{q'_+}
$$
ここで、カルノーサイクルは可逆機関であるから、逆運転することが可能である。この場合、熱源 $T_-$ から熱量 $q_-$を吸収し、熱源 $T_+$ へ熱量 $q_+$ を放出し、外から$w = q_+ - q_-$の仕事をされることになる（下図参照）。

この逆運転しているカルノーサイクルと一般の熱機関を結合した熱機関を作ると以下の図のようになる。

この結合した熱機関が吸収した正味の総熱量 $Q_{in}$ は、
$$
Q_{in} = q'_+ - q'_- - q'_+ + q_- = q_- - q'_-
$$
となり、結合した熱機関は熱源 $T_-$ とのみ熱の移動があることになる。
また、この結合した熱機関が外にする仕事の総量 $W_{out}$ は、
$$
W_{out} = w' - w = q'_+ - q'_- - (q'_+ - q_-) = q_- - q'_- = Q_{in}
$$
ここで、
$$
W_{out} = q_- - q'_- > 0
$$
だとすれば
$$
Q_{in} > 0
$$
となり、一つの熱源 $T_-$ から熱を受け取り、その全てを外にする仕事に変換できることになる。これは熱力学第二法則（トムソンの原理）に反することになるからこれは許されない。
したがって、
$$
W_{out} = Q_{in} = q_- - q'_- \leq 0
$$
となる。
つまり
\begin{eqnarray*}
q'_- &\geq& q_-\\
\frac{q'_-}{q'_+} &\geq& \frac{q_-}{q'_+}\\
1 - \frac{q'_-}{q'_+} &\leq& 1 - \frac{q_-}{q'_+}\\
\eta' &\leq& \eta
\end{eqnarray*}
となり、一般の熱機関の熱効率はカルノーサイクルの熱効率以下となる。

次に一般の熱機関として任意の可逆機関を採用すると、２つの熱機関はどちらも可逆機関であるから、結合した機関を逆運転することができる。
こうすると、任意の可逆機関とカルノーサイクルの立場が入れ替わるので、
$$
\eta' \geq \eta
$$
つまり $\eta' \leq \eta$ かつ $\eta' \geq \eta$ であるから
$$
\eta' = \eta
$$
よって、任意の可逆機関の熱効率とカルノーサイクルの熱効率は等しい。
したがって、一般の熱機関は、可逆機関の熱効率以下である。

以上わかったことは
１. カルノーサイクルの熱効率は２つの熱源の温度のみで決まる。
２. ２つの熱源の間で働く任意の可逆機関の熱効率は、カルノーサイクルの熱効率と等しい。
３. ２つの熱源の間で働く一般の熱機関の熱効率は、同じ２つの熱源の間で働くカルノーサイクルの熱効率以下である。

まとめると
「２つの熱源の間で働く場合、可逆機関の熱効率は２つの熱源の温度のみで決まり、一般の熱機関の熱効率は任意の可逆機関の熱効率以下である。」となり、カルノーの定理が（ざっくり）証明される。 ]]> http://blog.misubo.com/article/58424751.html 原点 $O$ から距離 $L$ の地点に音叉 S があり、波長 $\lambda$、振動数 $\nu$ の音波を左右に出している。この際、左右に出ている音波は、圧力や密度の上では同一の初期位相で出しているが、変位の上では $\pi$ だけ異なった初期位相で出している。音波は縦波であるから、媒質は $x$ 方向に振動する。今、Sから左に進む波について、位置 $x$、時刻$t$における媒質の変位 $y_{L}(x, t)$ が、振幅を $A$、波数 $\displaystyle .. も研 とさかくん 2012-09-21T23:15:39+09:00

この際、左右に出ている音波は、圧力や密度の上では同一の初期位相で出しているが、変位の上では $\pi$ だけ異なった初期位相で出している。音波は縦波であるから、媒質は $x$ 方向に振動する。
今、Sから左に進む波について、位置 $x$、時刻$t$における媒質の変位 $y_{L}(x, t)$ が、振幅を $A$、波数 $\displaystyle k = \frac{2 \pi}{\lambda}$、角振動数 $\omega = 2 \pi \nu$ として
$$
y_{L}(x, t) = A \sin(\omega t + k x)
$$
で与えられているとする。

この時、音叉Sの右に進む波の位置 $x$ における媒質の変位 $y_{R}(x, t)$ は、次のようにして求められる。
音叉のある $x = L$ での振動は、
$$
y_{L}(L, t) = A \sin(\omega t + k L)
$$
右に進む波は位相が $\pi$ ずれるから
$$
y_{R}(L, t) = A \sin(\omega t + k L + \pi)
$$
音波の速さを $v$ とすると、音叉の右側に $x - L$ だけ波が伝わるのに $\displaystyle \frac{x - L}{v}$ [s]かかるから
$$
y_{R}(x, t) = A \sin \left\{ \omega \left(t - \frac{x - L}{v} \right) + k L + \pi \right\}
$$
$\displaystyle \frac{\omega}{v} = k$ だから
$$
y_{R}(x, t) = A \sin \{ \omega t - k (x - L) + k L + \pi \}
$$
となる。 ]]>